第13章【螺旋軌道光子の運動学】
自動車という乗り物は、もとよりタイヤの回転によって進行するわけで、自動車の直進運動とタイヤの回転運動は、両者一体となって連動している関係である。したがって、自動車の観測者Ｂは、ポイントｂの運動を常に等速円運動として観測するのであるが、この等速円運動の速度と自動車の直進運動の速度は同一である。
※{以後は、自動車の直進運動の速度をｖ、ポイントｂの等速円運動の速度をⓋと記すものとし、またポイントｂが円軌道を一周したときの時間をｔとする。}
ならば次に、自動車の直進運動には関係なく、常に一定の固有な回転運動がある場合はどうであろうか。
たとえば、扇風機のように自動車が停止している場合でも、その一定の回転が自動車の直進運動と切り離され、独立した系として成り立っている場合に、その扇風機の一枚の羽の円周上部分に付けられたポイントｂの運動は、自動車内のＢと地上のＡ ではどのように観測されるのであろうか。
まず、Ｓ´系におけるＢの観測であるが、Ｂによればポイントｂは不変に一定の等速円運動を行って観測されるが、Ｓ系のＡからみると自動車はｘ軸を右方向へ速度ｖで運動し、その速度ｖは等速円運動のⓋよりも小さいものとすると、地上のＡが観測するポイントｂは、右下図のような二次元上の曲線を描く。
※{右上図のような形状の二次元曲線はサイクロイド曲線の一種とされるが、本論では、これを二次元螺旋軌道と称するものとし、略してⅱ螺旋軌道と記すものとする。また、本章後半に述べられる三次元上の螺旋軌道については、そのまま螺旋軌道と記すものとする。}
このⅱ螺旋軌道においては、右図のようにポイントｂがｘ軸上のQ点やＰ点の位置にあるときの速度はⓋであるが、R点ではⓋ＋ｖ、N点ではⓋ－ｖとなる。したがって、地上のＡからみたポイントｂの速度は、その軌道上の各位置によって異なり、絶えず変化していることになる。
Ｓ´系内(自動車内)においては、ポイントｂは不変にⓋの速度で等速円運動を行っているのであるが、ポイントｂがある時刻にR´点を出発し、Ｐ´点を経てN´点に至るまでの半円の距離を運動するとき、Ｓ系においては、そのポイントｂはⅱ螺旋軌道の R点を出発しＰ点を経てN点に至る。
この場合に、Ｓ系のｙ軸におけるefの長さは、Ｓ´系のR´点とN´点を直線で結んだ長さ(すなわち円の直径) R´N´に等しいのであるから、R点とN点を直線で結んだときのRNの長さは、三平方の定理により
RN＝√[(RR２／２)2＋(R´N´)2]
※{ √￣ ⇒ √[ ]}
と表すことができる。また直線 R´N´と直線R Nの比は、円軌道の半円の弧 R´P´N´とⅱ螺旋軌道半周分の弧 R P N の比と等しく、
R´N´／ R N＝R´P´N´／ R P N
であり、この場合にR´P´N´の半円は２πｒ／２であるからポイントｂがＳ´系の円軌道を半周したときのR´P´N´と、Ｓ系のⅱ螺旋軌道を半周したときの R P N の比は、
R´P´N´／ R P N ＝(２πｒ/２)／√[(RR２/２)2＋(２πｒ/２)2]
と表すことができる。
したがって、ポイントｂがＳ´系において R´P´N´R´の正円軌道を一周したときの距離Ｌ´とＳ系において R P N R２のⅱ螺旋軌道を一周したときの距離Ｌとの比は
Ｌ´／ Ｌ＝(２πr )／√[(RR２)2＋(２πr)2]
となり、これはまた
Ｌ´／ ＬⓋ／√[ｖ2＋Ⓥ2]
であるから、ゆえに
Ｌ＝ Ｌ´√[１＋β2] ※{β＝ｖ／Ⓥ ｝
が導出される。
そうするとポイントｂがＳ系においてⅱ螺旋軌道を一周したときの距離Ｌは、Ｓ´系において円軌道を一周したときの距離Ｌ´よりも√[１＋β2]倍で長くなっているにもかかわらず、ⅱ螺旋軌道を一周したときの所要時間と、円軌道を一周したときの所要時間はあくまでも同一のｔなのであるから、ポイントｂがⅱ螺旋軌道を一周したときの平均の速度は、円軌道におけるよりも√[１＋β2]倍で速くなっていることになり、すなわち
Ｌ／ｔ＝ Ｌ´√[１＋β2]／ｔ
＝Ⓥ√[１＋β2]
となる。
そこで次に、上記の一台の扇風機を一つの電子に置き換え、すなわちポイントｂのＳＳ´系における運動を、そのまま前出10章における一つの光子に置き換えて考えてみる。
まず、Ｓ´系において円軌道を伝播する光子の速度であるが、これはやはり不変な光速度Ｃであるとすると、Ｓ系においてⅱ螺旋軌道を伝播する光子の速度も、その軌道上のいかなる位置にかかわらず不変に光速度Ｃである。
なぜなら、たとえば光子がＳ系のR点にあるとき、通常の質点(ポイントｂ)であればその速度は
Ｃ＋ｖで速くなっていなくてはならない。ところが、この場合のR点における光子の波長は上右図のように速度ｖが大きいほどより長く拡張しＳ´系のR´点にあるときの波長よりも(Ｃ＋ｖ)／Ｃ倍で長くなる。したがって、R点にある光子の波長は速度ｖの増大分に比例して長くなり、単位時間あたりの振動数は逆比例して減少するのであるから、そのR点の光子の速度は、やはり不変な光速度Ｃなのである。
またN点における光子の波長は、速度ｖが大きいほどより短く収縮し、Ｓ´系のN´点にあるときの波長よりも(Ｃ－ｖ)／Ｃ倍で短くなる。したがって、N点にある光子の波長は、速度ｖの減少分に比例して短くなり、単位時間あたりの振動数は逆比例して増大するのであるから、その N点の光子の速度は、やはり不変な光速度Ｃである。
すなわち、下左図のようにＳ´系において円軌道を伝播する光子の波長が、簡単のため１cmであるものと仮定したとき、その振動数は１秒間に300億回であり、速度はいずれにしても光速度Ｃである。
この場合に、速度ｖ(電子全体が右方向へ運動するときの速度)が秒速10万㎞であるものと仮定すると、Ｓ系のQ点やP点の位置にあるときの光子の波長は１cmであるが、R点にあるときには波長は(Ｃ＋ｖ)／Ｃ＝４／３倍の1,33・・・cmで振動数は１秒間に225億回となり、またN点にあるときには波長は(Ｃ－ｖ)／Ｃ＝２／３倍の0,66・・・cmで振動数は450億回となる。
したがって、ⅱ螺旋軌道の光子の速度は、いずれの位置にあってもことごとく一律に光速度Ｃと
なる。
ここで、Ｓ´系において光子が円軌道を一周するときの所要時間をｔ´とし、Ｓ系においてⅱ螺旋軌道を一周するときの所要時間をｔとすると、円軌道を半週したときの R´P´N´とⅱ螺旋軌道を半周したときの R P N は、それぞれ
R´P´N´＝Ｃ(ｔ´／２)
R P N ＝Ｃ(ｔ／２)
と表すことができ、また
RR２／２＝ｖ(ｔ／２)
であるから、
R´N´／ R N ＝R´P´N´／ R P N
の関係から導かれる
( R P N )2＝(R´P´N´)2＋(RR２／２)2
の三平方の式は、そのまま
[Ｃ(ｔ／２)]2＝[Ｃ(ｔ´／２)]2＋[ｖ(ｔ／２)]2
と表わすことができ、これはさらに
(Ｃｔ)2＝(Ｃｔ´)2＋(ｖｔ)2
と書き直すことができる。
そこで、上式の両辺をＣ2で割ると
ｔ2＝ｔ´2＋(ｖ／Ｃ)2ｔ2
となり、さらに
ｔ´2＝ｔ2－(ｖ／Ｃ)2ｔ2
＝[１－(ｖ／Ｃ)2]ｔ2
であるから、ここで両辺のルートをとると
ｔ´＝√[1－β2]ｔ ※{β＝ｖ／Ｃ}
となる。よってここに
ｔ＝ｔ´／√[1－β2]
を得ることができる。
すなわち、光子がＳ系においてⅱ螺旋軌道を一周するときの所要時間ｔは、Ｓ´系において円軌道を一周するときの所要時間ｔ´よりも１/√[1－β2] 倍で長くなる。
また、光子がＳ系においてⅱ螺旋軌道を一周したときの距離Ｌと、Ｓ´系において円軌道を一周したときの距離Ｌ´はそれぞれ
Ｌ＝Ｃｔ Ｌ´＝Ｃｔ´
であるから、
Ｃｔ＝Ｃｔ´／√[1－β2]
∴ Ｌ ＝Ｌ´／√[1－β2]
となり、すなわちⅱ螺旋軌道のＬは所要時間ｔと同様に、円軌道のＬ´よりも１/√[1－β2]倍で長くなる。
そうすると、前述のように光子の波長はそのⅱ螺旋軌道上の各位置によって異なるのであるが、光子が一周したときの平均の波長は、結果的に１/√[1－β2]倍で長くなり、その平均振動数は
√[1－β2]倍で減少するということができる。
✧ 三次元螺旋軌道光子
ⅱ螺旋軌道におけるポイントｂの運動は、すべてｘ軸ｙ軸が構成する二次元面で行われるのであるから、この運動においてはｚ軸上における変位は一切ない。
ならばそこで、下図のようにＢの自動車内における扇風機が、その進行方向に対して垂直に置かれており、これらがＡのＳ系からみるとｚ軸を右方向へ変位していく場合、ポイントｂはどのような運動を行うのであろうか。
まず、Ｓ´系におけるポイントｂの運動であるが、これは右上図のようにｘ´軸ｙ´軸の二次元面において不変にⓋの速度で等速円運動を行う。一方、Ｓ系においては、右下図のようにそれらがさらにｚ軸を右方向へ速度ｖで変位しているのであるから、ポイントｂはｚ軸を含めた三次元空間において螺旋状の運動を行っていることになり、その速度は三次元螺旋軌道上のいかなる位置においても常に均一である。
Ｓ´系においてポイントｂがR´点からN´点を経て再びR´点に戻り、その円軌道(2πr)をⓋの速度で一周するとき、Ｓ系ではポイントｂはR点からN点を経てR２点に至りR点とR２点を直線で結んだRR２の距離を速度ｖで進む。すると、Ｓ´系で円軌道を一周したときのR´N´R´と、Ｓ系で螺旋軌道を一周したときの R N R２との比は、
R´N´R´／R N R２＝(2πr)／√[(RR２)2＋(2πr)2]
＝Ⓥ／√[ｖ2＋Ⓥ2]
であるから、
R N R２＝R´N´R´√[ｖ2＋Ⓥ2]／Ⓥ
＝R´N´R´√[１＋β2] ※{β＝ｖ／Ⓥ｝
となる。
よってポイントｂがＳ系で三次元上の螺旋軌道を一周したときの運動距離は、二次元螺旋軌道の場合と同様にＳ´系で円軌道を一周したときの運動距離よりも√[１＋β2]倍で長くなっていることになり、またその速度についても、円軌道を運動するときの速度(Ⓥ)よりも√[１＋β2]倍でより速くなっていることになる。
一方、この螺旋軌道運動を行うポイントｂを一つの光子に置き換えて考える場合には、この光子の速度はその一切がＳ´系における正円軌道の速度と同一の不変な光速度Ｃである。なぜなら、通常の質点(ポイントｂ)であれば、これが螺旋軌道を運動するとき、その速度は√[１＋β2]で速くなっていなくてはならない。ところが光子の場合は、その波長は１/√[1－β2]倍でより長くなり、逆に振動数は√[1－β2]倍で減少する。したがって、いずれにしてもその光子の速度は、やはり不変な光速度Ｃなのである。
Ｓ´系において光子が R´点から N´点を経て再び R´点に戻り、その円軌道を光速度Ｃで一周するとき、Ｓ系における光子はやはり光速度Ｃで R点からN点を経てR２点に至り、R点とR２点を直線で結んだ RR２の距離を速度ｖで進む。
すると光子がＳ´系で円軌道を一周したときのR´P´R´
(Ｌ´)と、Ｓ系で螺旋軌道を一周したときのR P R２(Ｌ)
との比であるが、これはやはり
R´P´R´／R N R２＝(2πr)／√[(2πr)2＋(RR２)2]
と表され、ゆえに
(R N R２)2＝(R´P´R´)2＋(RR２)2
となり、上式はそのまま
(Ｃｔ)2＝(Ｃｔ´)2＋(ｖｔ)2
と書き直すことができる。
よってここに
ｔ＝ｔ´／√[1－β2] ※{β＝ｖ／Ｃ}
が得られ、螺旋軌道のR N R２を伝播したときの所要時間ｔは、円軌道のR´P´N´を伝播したときの所要時間ｔ´よりも１/√[1－β2]倍でより長くなっていることになる。
また、いうまでもなく
Ｌ＝Ｌ´／√[1－β2]
であるから、これら三次元上の螺旋軌道光子における時間、距離、速度の値は、すべてⅱ(二次元)螺旋軌道光子の場合とまったく同一ということになり、その一周あたりの時間と距離はいずれの場合も１/√[1－β2]倍で長くなり、その際の光子の速度は、やはり不変な光速度Ｃとなる。
そこで、たとえばＳ´系で円軌道を伝播する光子の波長λ´が１㎝であり、振動数が１秒間に300億回であるものとすると、その一回の振動に要する時間T´は300億分の１秒であるが、この一振動あたりの微小な時間T´は、Ｓ系で光子が螺旋軌道を伝播するときには１/√[1－β2]倍でより長くなっていることになり、ちなみに速度ｖが秒速18万㎞である場合のＳ系における時間Tは、300億分の１,25秒(240億分の１秒)となる。
《ｖ＝18万㎞／s √[1－β2]＝４／５＝0,8 １／√[1－β2]＝５／４＝1,25 》
螺旋軌道を伝播する光子の、１振動あたりの所要時間Tが 1,25倍で長くなっているということは、その一回の振動のあった空間の長さ(すなわち波長)も、やはり1,25倍で長くなっているということであるから、Ｓ´系における円軌道を伝播する光子の波長１㎝は、Ｓ系の螺旋軌道においては1,25㎝に伸びて長くなっていることになり、この場合の光子の速度は、Ｓ´系Ｓ系のいずれにおいても同一の光速度Ｃとなる。
Ｓ´系 λ´ (1cm) ／ T´(1／300億秒)＝Ｃ(30万ｋｍ／ｓ)
Ｓ 系 λ(1,25cm)／ T(1,25／300億秒)＝Ｃ(30万ｋｍ／ｓ)
すなわち、通常の質点(ポイントｂ)であれば、これが螺旋軌道を一周するとき、その所要時間は円軌道の場合の所要時間と同一不変のｔであるが、その速度は円軌道を運動するときの速度Ⓥよりも√[1＋β2]倍で速くなるために、運動距離Ｌも√[1＋β2]倍で長くなる。
Ｓ´系 Ｌ´／ｔ＝Ⓥ
Ｓ 系 Ｌ√[1＋β2]／ｔ＝Ⓥ√[1＋β2]
ところが光子の場合は、その一周あたりの所要時間ｔも、運動距離Ｌも１/√[1－β2]倍で長くなり、またさらに、その一振動あたりの微小な時間Tも、その一回の振動のあった空間の長さであるところの波長λの長さも１/√[1－β2]倍で長くなる。そして、この場合の螺旋軌道光子の速度は、やはり不変な光速度Ｃを現わすのである。