大気の中を伝わる音波とは疎密波であり、空気という媒質が膨張したり圧縮されたりして、その位相が伝播されるところの波動である。この音波が媒質中を進行するときの速度は、媒質である大気の温度と気圧によって決定されるのであるが、音波に限らずいかなる波動の速度は波長(λ)と振動数(ν)の積で与えられる。

　一方、光(電磁波)はと言えば、これは今日では真空そのものを伝播するものと考えられ、かつての静止エーテルといった絶対座標系としての媒質は実質的に否定されている。そうすると、なにも存在しないところの真空そのものを伝播する光と、大気という具体的な実体としての媒質上を伝播する音波の二者は、その観測される伝播の様子が根本的な事柄について異なるはずである。 

　まず第一には、音波の場合には通常の速度合成がなされるが、光は光源と観測者のいかなる相対運動においてもその速度は不変に光速度Ｃであるという違いがある。

 　たとえば、媒質である大気が無風状態であってこれは大地上に安定して静止してあるものとし、また音源も大地に固定されているものとして観測者が速度ｖで音源に向かって運動を行ったとき、媒質上を伝播する音波の位相速度をμとすると、その相対速度は μ＋ｖとなる。

　この場合に、観測者の電車を固定された座標系として考えたとき、その静止した電車座標系における音波の速度は当然 μ＋ｖとなり、このときの波長は依然として不変であるが、観測者が受けとる単位時間あたりの振動数は＋ｖに比例して増大する。

　しかし、逆に観測者が大地に静止していて音源の方が＋ｖで近づく運動をする場合は、ドップラー効果によってその振動数は＋ｖに比例して増大するが、波長は＋ｖに逆比例して短縮する。したがって、振動数が＋ｖで増えた分だけ波長は短くなるのであるから、その音波と観測者の相対速度λ×νは不変にμのままであり、もとより音波が媒質中を伝播するときの位相速度はいかなる波長によらず一定である

　そこで、図１の観測者の方が音源に向かって運動する場合に、媒質上の波長は常に不変であるが振動数は＋ｖに比例して増大し、その結果音波の速度はλν＝μ＋ｖとなる。しかし、真空を伝播する光の場合は、光源と観測者のいかなる相対的運動にもかかわらず光速度は不変であって、たとえ観測者が光源に向かって加速度運動した場合でも、その観測者の系内における光の速度はＣ＋ｖとはならず不変な光速度Ｃのままなのである。

　そうすると、観測者の方が光源に近づくなんらかのアクションを行ったときにも、その光の速度は不変なＣであるということは、その際の波長と振動数はその速度が不変なＣになるような形に変化しているということになる。つまり、観測者が光源に近づくアクションを行う以前と行った後の光の速度が同一のＣなのであるから、Ｃ＝λνにおけるアクション前のλνとアクション後のλνではその内容が異なっているはずである。

　すなわち、観測者の方が光源に向かって運動する場合においても、光の振動数は音波の場合と同様に＋ｖに比例して増大する。そして、音波の場合は観測者がどのような運動を行っても媒質上での波長は常に同一であるから、その速度は

　　　　　　　　[不変な波長λ]×[増大した振動数ν]＝μ＋ｖ　

となる。しかし、光の場合は振動数が増大したにもかかわらず光速度Ｃは不変であるから、

　　　　　　　　[波長？]×[増大した振動数ν]＝[不変な光速度Ｃ]

　　　∴[不変な光速度Ｃ]／[増大した振動数ν]＝[短縮した波長λ]

となり、すなわち音波の場合とは異なり、光の波長は＋ｖの大きさに逆比例して収縮していることになる。したがって、＋ｖで振動数は増大するものの、波長はその分だけ短くなるのであるから、λνの光速度は結果として不変にＣの値を示しているのである。

　そうすると、音波の場合も光の場合も、振動数は＋ｖに比例して増大する。しかし音波の場合、その波長に関しては依然として不変なのであるから、その速度はμ＋ｖで増大する。他方、光は波長が＋ｖに逆比例して収縮し、結果的に収縮した波長と増大した振動数の積である光速度は不変にＣのままなのである。

　ところで、観測者が音源に近づく運動を行えば、その音波の速度はμ＋ｖに増大するというのは、音波に限らずいかなる物体の運動についても、当然になされる速度合成である。

　たとえば、大地を右方向へμなる速度で走行する電車に対して、観測者がｖなる速度で左方向へ運動を行えば、両者の速度は加算されその相対速度は必ずμ＋ｖとなって増大する。そして、このごく当然な速度合成に際しては、その電車の長さが縮むなどということは、決してあり得ない。

　また、逆に向かってくる音波や電車に対して、観測者が右方向へ速度ｖで逃げるように運動を行った場合にも、相対速度は減算されてμ－ｖで減少するが、波長や電車の長さは当然不変なままである。しかし、光の場合はこの当然の速度合成がなされず、光速度は不変なままで波長は－ｖの速度の減少分に逆比例して長くなるのである。

　そこで次に、通常の速度合成がなされる電車は、その長さが変化するなどということは、現実には決してあり得ない。しかし電車も光と同じように、その長さが観測者の行う＋ｖや－ｖなどの運動に応じて変化するものと仮定した場合、その電車の速度ははたして光の場合と同様に不変な値になり得るのか否かを考えてみる。 

　前述４章のように、全長30ｍの電車が観測者の面前を通過したとき、電車の速度が秒速20ｍであるならば、その際の通過に要した時間は1,5秒である。そして、電車がその２倍の秒速40ｍで運動した場合は、通過時間は0,75秒に短縮し、速度が秒速50ｍであれば0,6秒に、秒速60ｍであれば0,5秒に、といった具合に速度がより大きければ大きいほど、電車はより短い時間で観測者の面前を通り過ぎて行くことになる。

　すなわち、30ｍの電車が通過したときの時間が1,5秒から0,75秒に短縮したということは、その電車の速度が秒速20ｍから秒速40ｍに増大したということに他ならず、電車の通過に際しての所要時間とその速度の二者は反比例する関係にある。

　通過時間と速度は、そのどちらかが変化すれば他方もそれに反比例して変化する関係にある。しかし電車の30ｍに関しては、これは不変値であって、たとえば電車の速度が2倍に増大したとき、その長さが30ｍから15ｍの半分に収縮するなどということはあり得ない。

　ちなみに、ごく日常的な場面において、目の前を電車がゆっくりと時間をかけて通過した場合、その電車の長さは、通過に要した時間の長さに比例してより長いものであるかのように思えるが、電車がアッという間に通過した場合は、その長さは進行方向に凝縮されて縮んでしまったかのように思える。しかし、これはあくまでも視覚上の錯覚であり、現実にこのようなことは起こらない。

　そこで下図のように、30ｍの電車が秒速20ｍで通過するときの時間は1,5秒であるが、速度が2倍の秒速40ｍであればその通過時間は１/2倍の0,75秒となる。

※{先述４章によれば、長さを有する物体が速度を持つものであってはならず、本来はよりミクロからの視点の観測者の方が右方向へベクトルを持つものでなければならない。したがって上図の速度ベクトルは、あくまでも電車と観測者の相対速度を表わすものとする。}

　一方、その長さが実際に15ｍの電車があって、これが秒速20ｍで通過するときには、その通過時間は30ｍの電車が秒速40ｍであるときの通過時間と同一の0,75秒である。

　この場合に、30ｍの電車が0,75秒で通過するのと、15ｍの電車が0,75秒で通過するのとではその速度が異なるのであるから、はたして観測者はその違いに気付くことができるであろうか。結論から述べると、観測者がその速度の違いに気付くことは、いかなる場合もあり得ないのである。

　なぜなら、この観測者が具体的に電車の速度を測ろうとするには、観測者が固定されているプラットホームなり大地なりの２点間を、電車の先端なり、あるいはその電車を構成するなんらかの部分的な一ポイントなりが変位しているときの時間を測定しなくてはならない。つまり、観測者はよりマクロからの視点において、その個々のポイント(質点)の運動時間を測定するのであるから、この場合に30ｍの長さを有する電車全体が通過していく姿を観測することはできない。

　一方、電車の通過に要する時間を測定するというのは、具体的には(あるいは相対的には)電車の先端から後端までの30ｍの距離を観測者自らが運動系の質点となって左方向へ変位する際の、その所要時間を測定することに他ならず、この場合の観測の視点は取りも直さずよりミクロからの視点なのである。したがって、観測者自らが運動系である場合になされるこの測定においては、電車の速度は一切不明なのであって、観測者はその速度の違いに気付くことはできないのである。

　また同様に、通過時間が1,5秒で速度が秒速20ｍであるときの電車と、通過時間が0,75秒で速度が秒速20ｍであるときの電車の長さは異なるのであるから、観測者はその長さの違いに気付くことができるであろうか。

　この場合、観測者は通過時間が1,5秒であるときよりも0,75秒であるときのほうがその速度が２倍になっているものと推定し、その長さが半分になっていることには気付けないはずである。なぜなら、15ｍの電車が秒速20ｍで通過するのと、30ｍの電車が秒速40ｍで通過するのとではその時間は同一の0,75秒なのであるから、通過時間だけしか観測することができないこのよりミクロからの視点の観測者にとっては、両者の違いは一切区別することができない。

　したがって、電車の通過時間が一方は1,5秒であり他方が0,75秒であるという場合に、0,75秒で通過した電車の長さが1,5秒で通過した電車の長さよりも半分に減少しているのか、あるいは0,75秒で通過した電車の速さが1,5秒で通過した電車の速さよりも２倍に増大しているのか、この観測者はその違いを一切区別することができないのである。

　　　　　　　　　通過時間0,75秒＝30ｍ／秒速40ｍ

　　　　　　　　　　　 　　　　 ＝15ｍ／秒速20ｍ

　そうすると、このよりミクロからの視点の観測者にとっては、たとえばアッという間に通過した電車はその速度が増大しているのか、あるいはその長さが収縮しているのかは一切不明なのである。そして、その違いが一切区別できないということは、むしろこの二者はその観測者にとって、本質的に同一であるということができる。

　そこで次に、当初の図１の音波をそのまま電車に置き換えて、下図のような設定におけるＡＢ二者の観測を考えてみる。

　すなわち30ｍの電車は、Ａの固定されている大地を右方向へ秒速30ｍで運動しているが、Ｂは屋根や壁面のない台車のみの貨物車両に固定されていて、大地を左方向へ秒速10ｍで運動しているものとすると、大地のＡは電車が面前を通過した際の時間を１秒と観測するが、貨物車のＢは0,75秒と観測する。

　この場合、ＡＢ二者の観測者はよりミクロからの視点において、それぞれの電車の通過時間だけを観測したのであるから、電車の速度及びその長さについては一切観測することができない。しかし、電車の速度という測定値はその時々の様々な運動状態によって変化するが、電車の長さはその測定を行う以前から変わることのない不変の物理量である。

そこでＡＢの観測者は、その電車の長さが30ｍであることを当初から知っているものとすると、電車の通過時間を１秒と観測した大地のＡは、電車の30ｍの距離をＡ自らがよりミクロからの視点で、左方向へ運動したときの速度が秒速30ｍであると算出することができ、同様に通過時間を0,75秒と観測した貨物車のＢは、同じく電車の30ｍの距離をＢ自らが運動したときの速度が秒速40ｍであると算出することができる。

　30ｍという電車の長さはＡＢそれぞれの速度と運動時間の積として表わされ、

　　　電車の長さ[距離30ｍ]＝Ａの速度[秒速30ｍ]×Ａの運動時間(通過時間)[１秒]

　　　　　　　　　　 　   ＝Ｂの速度[秒速40ｍ]×Ｂの運動時間(通過時間)[0,75秒]

であるから、これまで電車の通過時間と称してきた値は、ＡＢそれぞれの左方向への運動時間に等しく、30ｍという電車固有の長さはＡＢそれぞれの運動距離に等しいということができる。したがって、先に電車の速度と通過時間の二者は反比例する関係にあると述べたが、この場合の電車の通過時間とは、実を言えばよりミクロからの視点のＡＢが、電車の先端から後端に向かってその30ｍの距離を変位したときの所要時間のことに他ならず、またその速度についても、これは電車の速度なのではなく、その質点Ａ、質点Ｂの左方向への変位における速度なのである。

　そうすると上式の関係においては、Ｂの速度がＡの速度の4／3倍でより速いとき、Ｂの運動時間はＡの運動時間の3／4倍でより短くなり、逆に、Ａの速度がＢの速度の3／4倍でより遅いとき、Ａの運動時間はＢの運動時間の4／3倍でより長いのであるから、この場合のＡＢ二者におけるそれぞれの速度とそれぞれの運動時間は、互いに反比例する関係にあり、ＡＢそれぞれの運動距離である電車の長さは、その時間と速度の反比例する関係おいて常に不変なのである。

　そこでさらに、運動系としてのＡＢの二者はそれぞれの速度で、電車の座標系を左方向へ運動したのであるから、これは相対的には、電車のほうがＡＢそれぞれの座標系を右方向へ運動したということに他ならない。

　ということは、ＡＢ二者の左方向への運動は、いずれも電車を静止した座標系として記述されるのであるから、逆に電車の速度を記述するには、ＡＢの二者は視点をよりミクロからの視点からよりマクロからの視点に切り替えなくてはならず、この場合に電車座標系におけるＡＢそれぞれの左方向の運動は、相対的にＡＢそれぞれの座標系における、質点化された電車の右方向への運動に切り替わるのである。

　そうすると、当初より電車の固有な長さが30ｍであることを知っていた大地のＡと貨物車のＢは、最初に電車の通過時間をそれぞれに測定したことにより、最終的にＡは大地座標系における電車の速度が秒速30ｍであったことを知ることができ、Ｂは貨物車座標系における電車の速度が秒速40ｍであったことを知ることができる。

　ならばそこで、Ｂが測定した通過時間(Ｂ自らの運動時間)0,75秒が、Ａが測定した通過時間(Ａ自らの運動時間)１秒よりも短縮しているという場合に、電車の長さもその通過時間の短縮にともなって同様に短縮し収縮すると仮定した場合、それらＡＢの運動におけるそれぞれの速度はどのようになるのであろうか。

再度換言して述べると、当初大地のＡは電車の通過時間を１秒と観測し、貨物車のＢは0,75秒と観測したのであるが、これは厳密にはＡ自らが電車の先端から後端までの30ｍを変位したときの時間が１秒であり、またＢ自らが電車の先端から後端までの30ｍを変位したときの時間が0,75秒なのである。そこで、Ｂの運動時間はＡの運動時間よりも3／4倍に短縮しているわけであるが、この時間の短縮に比例してＢの観測する電車の長さも、単なる錯覚としてではなく実際に3／4倍の22,5ｍに短縮するものと仮定したときに、ＡＢ両者のそれぞれの速度ははたしてどのようになるのかである。

　これは、Ｂの測定した運動時間がＡの測定した運動時間の3／4倍であるとき、Ｂの運動距離である電車の長さもそのまま正比例して3／4倍になってしまうのであるから、この場合のＡＢ二者におけるそれぞれの運動時間とそれぞれの運動距離である電車の長さは、互いに正比例する関係にあり、ＡＢそれぞれの速度は、その運動時間と運動距離の正比例する関係において、常に同一であり不変なのである。

　       Ａの速度《秒速30ｍ》＝運動距離(電車の長さ) 《30ｍ》 ／運動時間《１秒》 

　     　Ｂの速度《秒速30ｍ》＝運動距離(電車の長さ)《22,5ｍ》／運動時間《0,75秒》

　すなわち上記のように、Ｂの運動時間が0,75秒であればＡの運動時間１秒との比は3／4であるから、同様にＡの観測する30ｍの電車の長さはＢの観測によればその3／4倍である22,5ｍに収縮する。

　そしてさらに、たとえばＢの運動時間が0,5秒であればＡの運動時間１秒との比は1／2であるから、電車の長さは30ｍの1／2倍である15ｍに、またＢの運動時間が0,25秒のときＡの運動時間１秒との比は1／4であるから、電車の長さは7,5ｍにといったぐあいに、それらの運動時間と運動距離が常に正比例して短縮する関係にある場合は、その速度は常に不変にして同一の秒速30ｍなのである。

　そうすると、これら運動系としてのＡＢ二者の視点を、さらによりマクロからの視点の観測に切り替えた場合は、最終的にＡの大地座標系における電車の速度も、またＢの貨物車座標系における電車の速度も、同一の秒速30ｍとなる。

※{よりミクロからの視点において、Ｂの観測する電車が3／4倍に収縮しているのであれば、逆にこれをよりマクロからの視点に切り替えたときのＢの貨物車は、相対的に4／3倍に拡張しているものでなければならない。このような長さ(ないしは空間)についての相対性は、ＡＢの二者が観測する対象(電車)が、あくまでも同一のものである場合に現れるのであるが、その詳細については後に８章において述べられる。}

　ところで、Ｂの運動時間0,75秒は、Ａの運動時間１秒よりも3／4倍に短縮しているという場合に、そのＢの運動時間における0,25秒の短縮は、もともとはＢが行う大地を左方向へ向かうときの秒速10ｍの運動によるものなであるから、結果的にＢが行った秒速10ｍの運動そのものが、電車の通過時間(Ｂの運動時間)を短縮し、同時に電車の30ｍの長さを22,5ｍに縮めているということになる。

　したがって、その電車の長さは『Ｂの運動時間の短縮に比例して短縮(収縮)する』と同時に『Ｂの運動による速度の増大に反比例して短縮する』とも述べることができ、この場合のＢの運動時間の短縮と、Ｂの速度の増大の二者は、本来同一であるということができる。

　そうすると、前出において、アッという間に通過した電車の長さは進行方向へ凝縮したかのように縮んでみえると述べたが、そこで実際に、より速い電車はその速度に反比例し、かつまたその通過時間に比例して収縮するものと仮定して考えてみると、その電車の速度は結果的に不変な値を現すのである。

　次に、下図のように貨物車のＢが、大地の系を右方向へ秒速10ｍで運動した場合を考えてみる。

　この場合、Ａの設定条件はすべて同一であるが、Ｂの貨物車の系からみた電車の速度は秒速20ｍとなり、その通過時間(Ｂの運動時間)は1,5秒となる。

　そうすると、大地のＡは電車の30ｍを１秒で運動(通過)し、貨物車のＢは同じく電車の30ｍを1,5秒で運動(通過)したのであるから、Ｂの運動時間はＡの運動時間よりも3／2倍で増大していることになる。そこで先の仮定と同様に運動時間の増大に比例して電車の長さも拡張(増大)するとした場合、Ｂが1,5秒で運動した電車の長さは45ｍになっていることになる。

　そして、この場合のＡＢ二者の速度は、やはり同一の秒速30ｍなのであり、さらにこれらをよりマクロからの視点の観測に切り替えた場合は、最終的にＡの大地座標系における電車の速度も、またＢの貨物車座標系における電車の速度も、同一の秒速30ｍとなる。 

また、この場合にＢの『運動時間の増大に比例して運動距離も拡張する』ことと、Ｂの運動による『速度の減少に反比例して電車が拡張する』ことの二者は同一なのであるから、前出において、面前をよりゆっくりと通過した電車の長さはより長くなっているようにみえると述べたが、そこで実際に、より遅い電車はその速度に反比例し、かつまたその通過時間に比例して拡張するものと仮定して考えてみると、その電車の速度は結果的に不変な値を現すのである。